Lalimo.ru

Система методов менеджмента

Игры с противником: формальное представление, выбор оптимальной стратегии

Любая игра задается функцией выигрыша, или платежной матрицей, которая в играх партнеров имеет следующий вид:

где i — стратегии строчного игрока;

j — стратегии столбцевого игрока;

aij — платежи столбцевого игрока при выборе им j-той стратегии строчному, если последний выбирает i-тую стратегию.

Если а,} > О, то столбцевой игрок платит строчному; если аij < о то строчный игрок платит столбцевому; если аij = О, никто никому не платит.

В качестве основного допущения в теории игр предполагается, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера. Пусть имеется конечная антагонистическая игра с матрицей выигрышей строчного и столбцевого игроков. Строчный игрок считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, столбцевой игрок выберет стратегию, максимизирующую свой выигрыш и тем самым минимизирующую выигрыш первого игрока. Поэтому для выбора оптимальной стратегии строчный игрок сначала в каждой выбирает минимальный элемент:

Затем, среди полученного столбца значений выбирав большее значение а, то есть

а считается нижней ценой игры, а стратегия, которую строчный игрок, — максиминной стратегией.

Аналогично, столбцевой игрок сначала в каждом столбце, выбирает наибольшее число

и оптимальной стратегией считает

β считается верхней ценой игры, стратегия, которую выбрал столбцевой игрок, называется минимаксной

и, следовательно, а>β

Если а = β, то игра называется игрой с седловой точкой.

Элемент, для которого выполняется условие аij = а = β, называется седловым элементом. Не всякая игра имеет седловую точку, но если она имеется, то стратегии игроков определяются однозначно.